A convexidade característica 1 no contexto da semi-continuidade inferior de integrais do cálculo das variações envolvendo gradientes 2X2 simétricos

Abstract

Introdução - O objectivo do cálculo das variações é a optimização de problemas que podemos caracterizar do seguinte modo: dado um conjunto de funções, curvas ou superfícies, encontrar aquelas que possuem uma certa propriedade máxima ou mínima. Podemos considerar, por exemplo, todas as curvas planas de comprimento fixo e procurar quais delas delimitam a maior área. Os problemas variacionais surgem-nos em muitas áreas no dia a dia tais como a física, a química, a biologia, a economia. O problema de extremos mais antigo de que há memória é conhecido por problema isoperimétrico. Este problema consiste na determinação de linhas fechadas simples, com perímetro fixado à partida, de modo a maximizar a área delimitada. Mas embora estes problemas sejam conhecidos desde a antiguidade só depois do cálculo diferencial e integral ter sido desenvolvido por Leibnitz e Newton se começou a sistematizar a investigação. Newton levantou o problema da forma que deveria ter um sólido de revolução, movendo-se num fluido na direcção do seu eixo, com velocidade constante, para que a resistência ao movimento fosse mínima. Mais tarde, em 1696, John Bernoulli propôs o problema da determinação de uma trajectória unindo dois pontos fixados, seguindo a qual, um corpo sujeito apenas à força da gravidade efectua o percurso em tempo mínimo. Depois surgiu o problema de obtenção de geodésicas – linhas de menor comprimento entre dois pontos da Terra. O que é que estes problemas têm em comum? Em todos eles pretendemos encontrar o extremo de uma função dependente de um número infinito de variáveis, através de uma expressão envolvendo um integral. Podemos dizer que o problema central do cálculo das variações consiste em encontrar, entre todas as funções satisfazendo uma determinada condição de fronteira, aquelas que minimizam um dado funcional.