Nonstandard linear algebra with error analysis

Abstract

Neste trabalho consideramos sistemas de equações lineares exíveis, sistemas de equações lineares cujos coe cientes têm incertezas de tipo o (:) ou O (:). Este tipo de incertezas irá ser analisado, à luz da análise não standard, como conjuntos de in nitesimais conhecidos como neutrizes. Em sistemas de equações lineares exíveis nem sempre existe uma solução exata. No entanto, neste trabalho apresentam-se condições que garantem a existência de pelo menos uma solução admissível, no sentido de inclusão, e as condições que garantem a existência de solução maximal nesse tipo de sistemas. Tais condições são restrições àcerca da ordem de grandeza do tipo de incertezas existentes, tanto na matriz dos coe cientes do sistema como na respetiva matriz dos termos independentes. Utilizando a regra de Cramer sob essas condições é possível produzir, pelo menos, uma solução admissível do sistema. No caso em que se garante a obtenção da solução maximal do sistema pela re- gra de Cramer, prova-se que essa solução corresponde à solução obtida pelo método de eliminação de Gauss; ABSTRACT: Systems of linear equations, called exible systems, with coe¢ cients having uncertain- ties of type o (:) or O (:) are studied from the point of view of nonstandard analysis. Then uncertainties of the afore-mentioned kind will be given in the form of so-called neutrices, for instance the set of all in nitesimals. In some cases an exact solution of a exible system may not exist. In this work conditions are presented that guarantee the existence of an admissible solution, in terms of inclusion, and also conditions that guarantee the existence of a maximal solution. These conditions concern restrictions on the size of the uncertainties appearing in the matrix of coe¢ cients and in the constant term vector of the system. Applying Cramer s rule under these conditions, one obtains, at least, an admis- sible solution of the system. In the case a maximal solution is produced by Cramer s rule, one proves that it is the same solution produced by Gauss-Jordan elimination.