Coupled periodic systems and synchronization

Abstract

Este trabalho é dedicado ao estudo de sistemas impulsivos generalizados de dois osciladores acoplados usando técnicas de Análise Não Linear, com as quais obtemos resultados para a existência e localização de soluções periódicas, e de Sistemas Dinâmicos, através das quais abordamos o fenómeno da sincronização, emergente no sistema de relógios de Huygens. Na primeira parte apresentamos resultados de existência e localização para soluções periódicas de sistemas planares não lineares acoplados de: primeira ordem, primeira ordem com impulsos, segunda ordem e segunda ordem com impulsos, sem requisitos de periodicidade para as não linearidades. Os argumentos para a existência baseiam-se no teorema do ponto fixo de Schauder, em variantes da condição de Nagumo, na Teoria do Grau Topológico e em resultados para funções equirreguladas. Os argumentos para a localização baseiam-se numa técnica de sub e sobre soluções, que envolve funções com translações que não necessitam de estar bem ordenadas. Na segunda parte apresentamos resultados de sincronização e estabilidade de dois osciladores acoplados que partilham uma interação mútua discreta, sob o modelo de Andronov, e exploramos a sincronização master-master e master-slave, mostrando que as órbitas resultantes de perturbações no ciclo limite de um oscilador de Andronov permanecem próximas do ciclo limite original, n˜ao perturbado. Obtemos as línguas de Arnold para o acoplamento de Huygens de dois relógios, um com uma frequência próxima de um múltiplo da do outro. Observamos uma relação master-slave: enquanto as múltiplas perturbações resultantes dos impulsos do oscilador mais rápido sobre o oscilador mais lento tendem a cancelar-se mutuamente, o único impulso do oscilador lento tem um efeito secular no sistema. Propomos que este padrão de sincronização, emergente desta dinâmica perturbativa de impactos, é prevalente em vários sistemas físicos - Coupled Periodic Systems and Synchronization Abstract: This work is dedicated to the study of generalized impulsive systems of two coupled oscillators using techniques from Nonlinear Analysis, under which we obtain existence and localization results for periodic solutions, and techniques from Dynamical Systems, through which we approach the emergence of the phenomenon of synchronization in Huygens’ system of clocks. In the first part we present some existence and localization results for periodic solutions of coupled nonlinear planar systems of: first-order, first-order with impulses, second-order and second-order with impulses, without periodicity requirements for the nonlinearities. The arguments for the existence are based on Schauder’s fixed point theorem, variations of the Nagumo condition, the Topological Degree Theory and results on equi-regulated functions. The localization tool is based on a technique of lower and upper solutions, involving functions with translations, that are not required to be well-ordered. In the second part we present results on synchronization and stability of two coupled oscillators exchanging a mutual discrete interaction, under the Andronov model, and explore both master–master and master-slave synchrony. We show that the orbits resulting from perturbations of a limit cycle of an Andronov oscillator remain close to the original unperturbed limit cycle. We obtain the Arnold tongues for the Huygens coupling of two clocks, one with frequency near a multiple of the other. We observe a pattern of master–slave relationship: while the multiple bursts of the faster oscillator tend to cancel each other out upon impacting the slower oscillator, the single burst of the slower oscillator has a secular effect. We propose that this synchronization pattern, arising from perturbative impacts, is prevalent across various physical systems.