Sistemas dinâmicos de dimensão infinita associados a aplicações do intervalo

Abstract

Neste trabalho consideramos o sistema dinˆamico discreto (A, T), onde A ´e uma classe de fun¸c˜oes diferenci´aveis reais definidas num intervalo real e T : A → A ´e um operador do tipo Tφ := f ◦ φ, caracterizado por uma aplica¸c˜ao real f definida num certo intervalo real I. Usando t´ecnicas da dinˆamica simb´olica estudamos a localiza¸c˜ao dos pontos cr´ıticos e dos valores cr´ıticos das fun¸c˜oes iteradas da classe A, por T, para o caso em que T ´e caracterizado por uma aplica¸c˜ao m-modal f. Al´em disso, introduzimos e desenvolvemos algumas t´ecnicas da dinˆamica simb´olica para o sistema dinˆamico (A, T), que tˆem por base a dinˆamica simb´olica do sistema dinˆamico (I, f). Estudamos a taxa de crescimento dos pontos cr´ıticos das fun¸c˜oes iteradas da classe A, por T, nomeadamente no caso em que T ´e caracterizado por uma aplica¸c˜ao f topologicamente exacta e analisamos a evolu¸c˜ao e a distribui¸c˜ao dos seus valores cr´ıticos. Finalmente, associamos um sistema de substitui¸c˜ao ao sistema dinˆamico (A, T) considerando as aplica¸c˜oes f cujas sequˆencias de amassamento s˜ao peri´odicas e as fun¸c˜oes em A cujos valores cr´ıticos s˜ao pontos peri´odicos de f, e analisamos algumas propriedades dinˆamicas para este sistema de substitui¸c˜ao; ### ABSTRACT: In this work, we consider the discrete dynamical system (A, T), where A is a class of differentiable real functions defined in some real interval and T : A → A is an operator of the type Tφ := f ◦ φ characterized by a real map f defined in a certain real interval I. Using techniques of symbolic dynamics we study the localization of the critical points and critical values of the iterated functions of the class A, by T, for the case in which T is characterized by a m-modal map f. Moreover, we introduce and develop some techniques of symbolic dynamics for the dynamical system (A, T), based on the symbolic dynamics of the dynamical system (I, f). We study the growth rate of the critical points of the iterated functions of the class A, by T, namely in the case that T is characterized by a topological exact map, and we analyse the evolution and the the distribution of their critical values. Finally, we associate a substitution system to the dynamical system (A, T) considering the maps f whose kneading sequences are periodic and the functions in A whose critical values are periodic points of f, and we analyse some dynamical properties for this substitution system.