Generalized repunit numerical semigroups

Abstract

This thesis is devoted to the study of a new class of numerical semigroups, which we call generalized repunit numerical semigroups. Firstly, we describe minimal systems of binomial generators for the defining ideals of all corresponding monomial curves (over a fixed field). Then, we describe the Apéry sets, relative to the multiplicity, and solve other classical problems of Numerical Semigroup Theory like the Frobenius problem or the computation of the genus, by means of closed formulas for the entire class. Generalized repunit numerical semigroups are Wilf and have other interesting properties such as being homogeneous and having Cohen-Macaulay tangent cone. Furthermore, from the structure of the toric ideal of a generalized repunit numerical semigroup, the complete Betti sequence of its coordinate ring is derived. Finally, we explicitly describe a minimal graded free resolution of this ring, for the grading given by the semigroup. - Semigrupos numéricos repunit generalizados Resumo: Esta tese é dedicada ao estudo de uma nova classe de semigrupos, que designamos por semigrupos num´ericos repunit generalizados. Em primeiro lugar, descrevemos sistemas minimais de geradores binomiais para os ideais definidores de todas as correspondentes curvas monomiais (sobre um corpo fixado). Em seguida, calculamos os seus conjuntos de Apéry, relativos à multiplicidade, e resolvemos outros problemas notáveis da Teoria dos Semigrupos Numéricos, como o problema de Frobenius ou o cálculo do género, por meio de fórmulas fechadas para a totalidade da classe. Os semigrupos numéricos repunit generalizados são Wilf e possuem outras propriedades interessantes, como serem homogéneos e possuirem cone tangente de Cohen-Macaulay. Além disso, a partir da estrutura do ideal tórico de um semigrupo num´erico repunit generalizado, a sequência completa de Betti do seu anel de semigrupo ´e retirada. Finalmente, descrevemos explicitamente uma resoluçãoo livre minimal graduada deste anel, para a graduaçãoo dada pelo semigrupo.