Funções de acumulação limitada

Abstract

Medidas na recta real podem ser decompostas numa parte regular, singular e atómica. O objectivo da presente tese é obter uma decomposição análoga de uma classe de funções discretas não standard definidas sobre uma discretização infinitesimal da recta real. Consideramos cinco tipos de decomposições. Em primeiro lugar, identificamos contribuições atómicas, singulares e regulares para o valor do integral discreto duma função de acumulação limitada. Em segundo e em terceiro lugar, identificamos subconjuntos internos e externos onde as contribuições são efectuadas. A quarta decomposição representa a própria função de acumulação limitada como soma de uma função atómica, singular e regular. A última associa uma decomposição dada de uma função de acumulação limitada com uma decomposição da sua primitiva discreta, numa função com saltos, numa espécie de função de Cantor discreta e uma espécie de função discreta absolutamente contínua. / Summary: Measures on the real line may be decomposed into a regular, singular and atomic part. The objective of the present thesis is to provide analogous decompositions for a class of nonstandard, discrete functions defined on an infinitesimal discretization of the real line. We consider five types of decompositions. Firstly, we identify atomic, singular and regular contributions for the discrete integral of a function of limited accumulation. Secondly respectively thirdly we identify internal and externa! subsets where the contributions are realized. The fourth decomposition concerns a decomposition of the function of limited accumulation itself, in atomic, singular and regular functions. The final decomposition links a given decomposition of the function of limited accumulation with a decomposition of its discrete primitive into a kind of jump-function, a sort of discrete Cantor-function and a sort of discrete absolutely continuous function.