Gradientes generalizados, a inclusão diferencial de Dubois-Reymond e aplicações à existência de mínimo para integrais simples não convexos

Abstract

Introdução - Como o título indica, este trabalho tem como objectivo estabelecer a noção de gradiente generalizado de uma função localmente lipschitziana assim como as regras operatórias principais do cálculo com estes gradientes, o que é feito no Capítulo II ,e aplicar este conhecimento para demonstrar que um funcional integral do tipo I (x) = f {g [t, x (t)] + h [t, x' (t)]} dt tem mínimo no espaço de Sobolev W l,P ([0, 71, , Rn) ,sendo g, h, funções de Caratheodory, g côncava e h não convexa. A demonstração, efectuada no Capítulo V, obriga a estudar a existência de soluções do correspondente problema relaxado assim como de uma representação adequada da função bipolar h** de h , o que é feito no Capítulo III. No Capítulo IV estuda-se a regularidade lipschitziana de funcionais integrais não contínuos, na classe dos integrandos convexos, e prova-se a condição necessária conhecida por inclusão diferencial de DuBoisReymond. Com o objectivo de facilitar a leitura do texto foi elaborado um Apêndice no qual são recolhidas definições, enunciados, demonstrações e justificações de afirmações que ocorrem no texto. Finalmente quero aqui deixar expressos os meus agradecimentos ao Professor Doutor António Ornelas, Director do Mestrado e meu Orientador, por ter sugerido o tema e por ter amavelmente disponibilizado os livros fundamentais para a necessária pesquisa e estudo. Uma palavra de agradecimento ainda para a minha mulher e a minha filha, as quais nestes três últimos anos quase não puderam contar com o meu apoio familiar.