O conjunto de cantor

Abstract

O objectivo deste trabalho é o estudo aprofundado de um dos fractais mais conhecidos e estudados de sempre, o conjunto de Cantor. É feita uma abordagem histórica, onde são apresentados os marcos principais da vida e obra de Georg Cantor. Faz-se uma abordagem rigorosa do Conjunto de Cantor clássico e demonstram-se as suas principais propriedades, usando a de nição mais conhecida deste conjunto, como intersecção numerável de conjuntos fechados e encaixados. Estuda-se o conjunto de Cantor do ponto de vista dinâmico, isto é, como conjunto prisioneiro do sistema dinâmico discreto das iteradas de certas funções no intervalo. Fez-se o estudo do conjunto de Cantor enquanto fractal, estudando a sua dimensão de Hausdor¤, dimensão de capacidade e as propriedades de auto-semelhança. Finalmente propõem-se actividades de sala de aula no âmbito das matérias estudadas; ABSTRACT:The aim of this paper is a detailed study of one of the most known and studied fractals of all time, the Cantor set. It is made a historical approach, which presents the major landmarks of life and work of Georg Cantor. Is done a serious approach to the classical Cantor set and its main properties are proven, using the better known de nition of this set as a countable intersection of closed nested sets. The Cantor set is studied from the dynamic point of view, that means, as the prisoner set of a discrete dynamical system of the iterates of certain functions in the interval. It is made the study of the Cantor set as a fractal, studying its Hausdor¤ dimension, box-counting dimension and the properties of self-similarity. Finally, are proposed classroom activities within the subject matter.