Princípios variacionais não locais

Abstract

O objectivo deste trabalho é a análise matemática de alguns princípios variacionais não locais. Esta propriedade pode expressar-se de diferentes maneiras. Aqui esu-damos um tipo de não localidade que pode ser expressa como um integral duplo, em particular, damos especial atenção ao caso um-dimensional, ou seja, o caso ho-mogéneo. O principal objectivo é perceber de que forma a natureza não local destes problemas pode afectar questões básicas do cálculo das variações como a semicon-tinuidade inferior fraca e a relaxação. Todo este estudo tem como base as medidas de Young associadas a sucessões de derivadas fracamente convergentes. Também a desigualdade de Jensen tem aqui uni papel relevante, dado que podemos obter a semicontinuidade inferior fraca via desigualdade de Jensen para unia apropriada família de medidas de Young. Exploramos ainda os funcionais não-homogéneos e a forma das equações de equilíbrio e finalmente generalizamos todos estes resultados ao caso vectorial. /** Abstract - Our purpose is the mathematical analysis of some nonlocal variational problems. There are many ways to express the nonlocality. Here we are concerned with a type of nonlocality, that can be expressed in general as a double integral. The functional we give especial attention to is the homogeneous, one-dimensional case, and the main goal is to understand how the nonlocal nature of this kind of problems can affect the basic questions of the calculus of variations like weak lower semicontinuity and relaxation. All of that work is dope with the support of Young measures associated to weakly convergent gradient sequences. Jensen's inequality also has an important role in the paper. Weak lower semi continuity is obtained by Jensen’s inequality for the appropriate family of Young measures. We also explore inhomogeneous functionals and the form of the equilibrium equations, and finally we state some direct generalizations of those concepts for nonlocal vector problems.