O problema de minimização de um funcional integral do gradiente com condições lineares sobre a fronteira: Existência, unicidade e estabilidade das soluções

Abstract

Introdução - Nesta dissertação estuda-se o problema de minimização de um funcional integral do gradiente, com função integranda escalar, no espaço de Sobolev (a, .) + W 01,1 (Ω) das funções de W1,1 lineares na fronteira de Ω, sendo Ω C Rη um aberto limitado. Este estudo é feito, em primeiro lugar, na perspectiva da existência e unicidade de mínimo para o funcional. Posteriormente, pretende-se obter selecções, primeiro contínua, depois lipshitziana, em relação ao dado linear (declive) na fronteira de Ω, do conjunto de minimizantes do funcional. No capítulo 2 são estabelecidas algumas notações e terminologia, bem como alguns conceitos básicos e resultados relativos a espaços de funções (espaços Lp e de Sobolev), Teorema da divergência e Análise Convexa, essenciais nos capítulos seguintes. As principais fontes bibliográficas são [Rockafellarl, [Ekeland-Teman], [Brezis], [Adams], [Ziemerl, entre outras constantes na bibliografia. No capítulo 3 abordam-se as condições necessárias e suficientes para existência de solução do problema de minimização em estudo. Este capítulo tem por base os artigos [Cellina 1 ] e [Cellina21, publicados em 1993, [Frieseckel, publicado em 1994 e [Sychev], publicado em 2000. De referir que este último artigo surgiu neste trabalho numa fase posterior, tendo-se tornado particularmente influente na forma como o teorema de existência de solução é enunciado e demonstrado. Na demonstração intervêm o Teorema de cobertura de Vitali e funções de suporte. Neste capítulo é também abordada a questão da unicidade de solução. No capítulo 4, aprofunda-se a questão da existência de mínimo para o funcional integral. Com esse objectivo, constrói-se uma função que depende continuamente do declive na fronteira, que minimiza o integral, para quase todo os valores do declive para o qual o mínimo existe, e minimiza o convexificado do funcional, para todo o declive. Na demonstração tem papel importante o teorema de Vitali e também o teorema de Baire. Este capítulo baseia-se no artigo [Goncharov-Ornelas], preprint em 1994. Com o capítulo 5 aperfeiçoa-se o resultado do capítulo 4, construindo-se explicitamente uma função do declive na fronteira, lipschitziana, que minimiza o funcional, para todo o declive para o qual o mínimo existe (em vez de ser para quase todos), e minimiza o funcional convexificado, para todo o declive. Este capítulo baseia-se no artigo [Dal Maso-Goncharov-Ornelas], publicado em 1999.