Números externos complexos. Raízes de polinómios e aplicações

Abstract

Nesta tese estuda-se as equações polinomiais com coeficientes no conjunto dos números externos, que tem estrutura algébrica de um sólido. Relativamente aos polinómios com coeficientes no conjunto dos números externos reais, prova-se que as soluções, quando existem, são números externos. Para alargar o âmbito do estudo das equações, introduziu-se o conjunto dos números externos complexos. Prova-se que esses números satisfazem todos os axiomas de um sólido, menos os que se relacionam com ordem. Quando os polinómios têm coeficientes no conjunto dos números externos complexos, as soluções das equações polinomiais, quando existem, também, são números externos. No entanto, se todos os coeficientes de um polinómio são números complexos internos, então existem tantas soluções quanto ao grau desse polinómio. Como a propriedade distributiva no conjunto dos números externos não é válida em geral, o produto de polinómios com coeficientes externos nem sempre se reduz a um polinómio clássico e, a partir daqui, introduz-se o conceito do polinómio generalizado. Assim, estuda-se as equações que envolvem polinómios generalizados, cuja soluções, se existem, também são números externos. Como aplicação, determina-se o polinómio característico de uma matriz quadrada, cuja ordem é um número natural standard e as entradas são números externos, e obtém-se uma fórmula fechada para os seus coeficientes; Complex external numbers. Polynomial - roots and applications. Abstract: In this thesis we study polynomial equations with coefficients in the set of external numbers, which have the algebraic structure of a solid. Regarding polynomials with coefficients in the set of real external numbers, it is proved that the solutions, when they exist, are external numbers. To broaden the scope of the study of equations, the set of complex external numbers was introduced. It is proved that these numbers satisfy all axioms of a solid except those that relate to order. When polynomials have coefficients in the set of complex external numbers, the solutions of polynomial equations, when they exist, are also external numbers. However, if all the coefficients of a polynomial are internal complex numbers, then there are as many solutions as there are degrees of that polynomial. As the distributive property on the set of external numbers is restricted, the product of polynomials with external coefficients does not always reduce to a classical polynomial and, from here, the concept of the generalized polynomial is introduced. Thus, equations involving generalized polynomials are studied, whose solutions, if any, are also external numbers. As an application, the characteristic polynomial of a square matrix is determined, whose order is a standard natural number and the inputs are external numbers, and a closed formula for its coefficients is obtained.