Topological and dynamical complexity in epidemiological and ecological systems

Abstract

In this work, we address a contribution for the rigorous analysis of the dynamical complexity arising in epidemiological and ecological models under different types of interactions. Firstly, we study the dynamics of a tumor growth model, governing tumor cells interacting with healthy tissue cells and effector cells of the immune system. By using the theory of symbolic dynamics, we characterize the topological entropy from one-dimensional iterated maps identified in the dynamics. This analysis is complemented with the computation of the Lyapunov exponents, the fractal dimension and the predictability of the chaotic dynamics. Secondly, we provide the analytical solutions of the mentioned tumor growth model. We apply a method for solving strongly nonlinear systems - the Homotopy Analysis Method (HAM) - which allows us to obtain a one-parameter family of explicit series solutions. Due to the importance of chaos generating mechanisms, we analyze a mathematical ecological model mainly focusing on the impact of species rates of evolution in the dynamics. We analytically proof the boundedness of the trajectories of the attractor. The complexity of the coupling between the dynamical variables is quantified using observability indices. The topological entropy of existing one-dimensional iterated maps is characterized using symbolic dynamics. To extend the previous analysis, we study the predictability and the likeliness of finding chaos in a given region of the parameter space. We conclude our research work with the analysis of a HIV-1 cancer epidemiological model. We construct the explicit series solution of the model. An optimal homotopy analysis approach is used to improve the computational efficiency of HAM by means of appropriate values for the convergence control parameter. We end up this dissertation presenting some final considerations; RESUMO: Este trabalho constitui um contributo para a análise rigorosa da complexidade dinâmica de modelos epidemiológicos e ecológicos submetidos a diferentes tipos de interações Primeiramente, estudamos a dinâmica de um modelo de crescimento tumoral, representando a interacção de células tumorais com tecidos saudáveis e células efectoras do sistema imunitário. Usando a teoria da dinâmica simbólica, caracterizamos a entropia topológica de aplicações unidimensionais identificadas na dinâmica. Esta análise ´e complementada com o cálculo dos expoentes de Lyapunov, dimensão fractal e o cálculo da previsibilidade dos atractores caóticos. Seguidamente, apresentamos soluções analíticas do modelo de crescimento tumoral mencionado. Aplicamos um método para resolver sistemas fortemente não lineares - o Método de Análise Homotópica (HAM) - o qual nos permite obter uma família a um parâmetro de soluções explícitas em forma de série. Devido à importância dos mecanismos geradores de caos, analisamos um modelo matemático em ecologia, centrando-nos no impacto das taxas de evolução das espécies na dinâmica. Provamos analiticamente a compacticidade das trajectórias do atractor. A complexidade do acoplamento entre as variáveis dinâmicas é quantificada utilizando índices de observabilidade. A entropia topológica de aplicações unidimensionais é caracterizada usando a dinâmica simbólica. Para estender a análise anterior, estudamos a previsibilidade e a probabilidade de encontrar comportamento caótico numa determinada região do espaço de parâmetros. Concluímos o nosso trabalho de investigação com a análise de um modelo epidemiológico tumoral HIV-1. Construímos uma solução explícita do modelo. Usamos uma análise homotópica optimal para melhorar a eficiência computacional do HAM através de valores apropriados para o parâmetro de controlo da convergência. Terminamos esta dissertação com a apresentação de algumas considerações finais.