Existence of minimizers for n-dimensional nonconvex integrals

Abstract

Primeiro demonstra-se a existência de minimizantes para o integral múltiplo ∫ Ω ℓ∗∗ ( u (x) , ρ1 (x, u(x))∇u (x) ) ρ2 (x, u(x)) d x on W 1;1 u@ (Ω) , onde Ω ⊂ Rd é aberto e limitado, u : Ω → R pertence ao espaço de Sobolev u@ (·) + W1;1 0 (Ω), u@ (·) ∈ W1;1 (Ω) ∩ C0 ( Ω ) ; ℓ : R×Rd → [0,∞] é superlinear L⊗B−mensurável, ρ1(·, ·), ρ2(·, ·) ∈ C0 (Ω×R) ambos > 0 e ℓ∗∗(·, ·) é apenas sci em (·, 0). Também se considera o caso ∫ Ω L∗∗ (x, u(x),∇u(x) ), embora com hipóteses mais complexas, mas é igualmente possível ter L(x, ·, ξ) não-sci para ξ ̸= 0; Por último demonstra-se a existência de minimizantes radialmente simétricos, i.e. uA(x) = UA ( |x| ), uniformemente contínous para o integral múltiplo ∫ BR L∗∗ ( u(x), |Du(x) | ) d x na bola BR ⊂ Rd, u : Ω → Rm pertence ao espaço de Sobolev A + W1;1 0 (BR, Rm ), L∗∗ : Rm×R → [0,∞] é convexa, sci e superlinear, L∗∗ ( S, · ) é par; note-se também que enquanto no caso escalar, m = 1, apenas necessitamos de mais uma hipótese : ∃ min L∗∗ (R, 0 ), no caso vectorial, m > 1, L∗∗ (·, ·) também tem de satisfazer uma restrição geométrica, a qual chamamos quasi − escalar; sendo o exemplo mais simples de uma função quasi − escalar o caso biradial L∗∗ ( | u(x) | , |Du(x) | ); ABSTRACT: First it is proved the existence of minimizers for the multiple integral ∫ Ω ℓ∗∗ ( u (x) , ρ1 (x, u(x))∇u (x) ) ρ2 (x, u(x)) d x on W 1;1 u@ (Ω) , where Ω ⊂ Rd is open bounded, u : Ω → R is in the Sobolev space u@ (·) + W1;1 0 (Ω), with boundary data u@ (·) ∈ W1;1 (Ω) ∩ C0 ( Ω ) ; and ℓ : R×Rd → [0,∞] is superlinear L⊗B − measurable with ρ1(·, ·), ρ2(·, ·) ∈ C0 (Ω×R) both > 0 and ℓ∗∗(∫ ·, ·) only has to be lsc at (·, 0). The case Ω L∗∗ (x, u(x),∇u(x) ) is also treated, though with less natural hypotheses, but still allowing L(x, ·, ξ) non − lsc for ξ ̸= 0; Lastly it is proved the existence of uniformly continuous radially symmetric minimizers uA(x) = UA ( |x| ) for the multiple integral ∫ BR L∗∗ ( u(x), |Du(x) | ) d x on a ball BR ⊂ Rd, among the vector Sobolev functions u(·) in A + W1;1 0 (BR, Rm ), using a convex lsc L∗∗ : Rm×R → [0,∞] with L∗∗ ( S, · ) even and superlinear; but while in the scalar m = 1 case we only need one more hypothesis : ∃ min L∗∗ (R, 0 ), in the vectorial m > 1 case L∗∗ (·, ·) also has to satisfy a geometric constraint, which we call quasi − scalar; the simplest example being the biradial case L∗∗ ( | u(x) | , |Du(x) | ).