Axiomatics for the external numbers of Nonstandard analysis and modelation of uncertainties

Abstract

Nesta tese apresentamos uma axiomática para os números externos. Neutri- ces e números externos foram propostos como modelos de ordens de grandeza no contexto da Análise Não-standard. Mostramos que os números externos são um semigrupo comutativo regular para a adição e que os números externos que não são neutrices são um semigrupo comutativo regular para a multiplicação. A distributividade tem uma validade restringida mas que pode ser completamente caracterizada. Os números externos têm, em larga escala, propriedades semel- hantes às dos números reais o que justi ca a introdução de estruturas algébricas comuns, de nidas por regras axiomáticas. As estruturas resultantes têm ele- mentos neutros individualizados tanto para a adição como para a multiplicação e uma distributividade restringida. As estruturas apresentadas têm no entanto muitas propriedades em comum com estruturas clássicas tais como grupos, anéis e corpos. Mostramos que os axiomas apresentados têm um modelo nos números externos. Modelamos os paradoxos que surjem quando se consideram várias ordens de magnitude, chamados paradoxos Sorites, usando números externos; ABSTRACT:In this thesis we present an axiomatics for external numbers. Neutrices and external numbers were proposed as models of orders of magnitude within nonstandard analysis. We show that the external numbers form a commuta- tive regular semigroup for addition and that the external numbers which are not neutrices form a commutative regular semigroup for multiplication. The validity of the distributive law is restricted, but it can be fully characterized. External numbers have to a large extent algebraic properties similar to those of real numbers. This justi es the introduction of common algebraic structures de ned by axiomatic rules. The resulting structures have individualized neutral elements for both addition and multiplication and a restricted distributive law, but have to a large extent properties in common with classical structures such as groups, rings and elds. We show that the axioms presented have a model in the external numbers. We model the paradoxes which arise when several orders of magnitude are considered, called Sorites paradoxes, using external numbers.