Equilíbrio e taxas de convergência em sistemas dinâmicos discretos não autónomos

Abstract

Na primeira parte deste trabalho estudamos a convergência para a distribuição de equilíbrio em grafos não autónomos periódicos. Introduzimos a noção de equilíbrio em grafos não autónomos e apresentamos uma estimativa superior para a distância ao equilíbrio, `a custa do segundo valor próprio em módulo das matrizes produto, supondo todas as matrizes erg´odicas e pelo menos uma delas reversível. A estimativa obtida depende explicitamente da dimensão das matrizes consideradas. Estabelecemos a relação entre grafos autónomos e cadeias de Markov não homogéneas. Ilustramos, com um exemplo, a aplicação a sistemas dinâmicos não autónomos. Estendemos o estudo a matrizes n˜ao reversíveis demonstrando um resultado análogo ao caso reversível, no contexto autónomo e não autónomo, que utiliza a factorização da matriz através da forma normal de Jordan. Finalmente discutimos a pertinência dos resultados originais obtidos comparando-os com resultados conhecidos. Esta parte corresponde aos capítulos 2 e 3. A segunda parte, capítulo 4, ´e dedicada ao estudo detalhado de uma família de sistemas não autónomos de período 2, gerados pela iteração sequencial de duas funções do tipo tenda cortada. Apresentamos os conceitos de dinâmica simbólica, renormalização e produto estrela no contexto não autónomo, com o objectivo de calcular a taxa de convergência de sucessões de pontos no espaço de parâmetros, construidas através de produtos estrela/renormalizaçõesconsecutivas, generalizando assim as sequências de Feigenbaum. Concluímos que as taxas de convergência são independentes do ponto inicial, mostrando assim que o contexto não autónomo exibe propriedades universais do tipo encontrado por Feigenbaum em famílias de sistemas autónomos; Abstract: In the first part of this thesis we study the convergence for the equilibrium distribution in periodic non autonomous graphs. We introduce the notion of equilibrium in non autonomous graphs and give an upper bound for the distance to the equilibrium, using the second largest eigenvalue in modulus of the product matrices, assuming all of them ergodic and, at least, one reversible. The estimate obtained depends explicitly on the dimension of the considered matrices. We set the relation between non autonomous graphs and non homogeneous Markov chains. We illustrate the applications to the non autonomous dynamical systems with an example. We extend the study to non reversible matrices proving an analogous result, in both autonomous and non autonomous settings, using the matrix factorization with the Jordan normal form. Finally we discuss the relevance of the results obtained comparing them with the previously known results. This is the subject of chapters 2 and 3. The second part, chapter 4, is dedicated to studying a family of non autonomous systems with period 2, generated by the sequential iteration of two stunted sawtooth maps. We present the concepts of symbolic dynamics, renormalization and star product in the non autonomous setting, in order to compute the convergence rates of sequences of points in the parameter space. These sequences are obtained through consecutive star products/renormalizations, generalizing in this way the Feigenbaum sequences. We show that the convergence rates are independent of the initial point, thus, concluding that the non autonomous setting has universal properties of the type founded by Feigenbaum in families of autonomous systems.