Tópicos de Análise Funcional

Abstract

A análise funcional é um ramo abstracto da Matemática que se originou da análise clássica. O seu desenvolvimento começou há um século atrás, e os métodos e resultados analíticos funcionais de hoje em dia são importantes em vários campos da Matemática e das suas aplicações. Os matemáticos observaram que os problemas provenientes de várias áreas, tais como a Álgebra Linear, as Equações Diferenciais Ordinárias e Parciais, o Cálculo das variações, as Equações Integrais, e em diferentes aplicações, mostravam frequentemente propriedades semelhantes e interrela- cionados. Este facto sugeriu uma abordagem uni cadora em relação a tais proble- mas, tendo por base a omissão de detalhes não essenciais. Daí a vantagem de uma abordagem abstracta, concentrada nas questões essenciais, para que esses fatos se tornem claramente visíveis e a atenção do investigador não seja perturbada por detalhes sem importância. Neste aspecto, o método abstrato é o mais simples e mais "económico"para analisar sistemas matemáticos, que poderá ter, várias realizações concretas (modelos). Uma abordagem abstracta, geralmente, parte de um conjunto de elemen- tos satisfazendo certos axiomas. A natureza dos elementos não é especificada, propositadamente. A teoria consiste então em consequências lógicas, que re- sultam dos axiomas, e que podem ser registadas como teoremas ou outro tipo de asserções. Isto signi ca que, neste método axiomático, obtém-se uma estrutura matemática cuja teoria é desenvolvida de maneira abstrata. Os teoremas, de carácter geral, podem depois ser aplicados a vários conjuntos específicos que satisfaçam o quadro axiomático.Na análise funcional, por exemplo, fazemos a ligação entre a Álgebra e espaços abstractos de grande importância (espaços de Banach, espaços de Hilbert) que serão vistos em detalhe. Neste contexto, o conceito de "espaço", que remonta a M. Fréchet (1906), será um conjunto de elementos (não es- pecificados) que satisfazem determinados axiomas. Escolhendo diferentes conjuntos de axiomas, devemos obter diferentes tipos de espaços.