O problema da caracterização da relação entre Q-convexidade e R-convexidade no caso 2 X 2 simétrico

Abstract

Introdução - Nesta dissertação analisa-se a relação entre laminados e micro-estruturas (ou, equivalentemente, entre Q- e R-convexidade) no caso 2 x 2. Para explicar brevemente o contexto em que se inserem estes conceitos, seja Ω c: Rn um aberto limitado, subconjunto conexo com fronteira suficientemente suave. Este domínio será para nós a parte do espaço ocupada por um corpo antes de sofrer uma deformação, ao qual chamaremos configuração de referência. Frequentemente referir-nos-emos a Ω como o corpo. A deformação do corpo é uma aplicação Ω: ->Rm, suposta suficientemente suave, injectiva (excepto possivelmente na fronteira de Ω), preservando a orientação. A matriz ∇ u (x) é chamada o gradiente da deformação e dá-nos uma medida da 'intensidade' local da deformação. A exigência de ser localmente biunívoca e de preservar a orientação pode ser escrita como det(∇ u(x)) > 0 qs em Ω. Um corpo deformado associado a uma deformação arbitrária u pode estar sujeito a forças no corpo representadas por um campo vectorial f : u(Ω)-> Rm. A função f depende obviamente de u e representa a densidade das forças aplicadas por unidade de volume na configuração deformada. Poderão também existir forças na superfície definidas como um campo vectorial numa parte da fronteira λ1 ⊂δu(Ω),g : λ1-->Rm, representando a densidade das forças aplicadas na superfície por unidade de área na configuração deformada. Consideramos então uma função W : Ω x Rm x Mmxn -> (-∞, +∞] (onde Mmxn é o espaço das matrizes m x n, que identificaremos com Rnm), a densidade energética, que representa a energia acumulada no corpo menos as forças a que o corpo está sujeito. As configurações de equilíbrio do material correspondem às soluções do problema variacional, que consiste em encontrar minimizantes (ou mais geralmente extremantes) do funcional da energia representando a energia interna associada a uma deformação do corpo. (...)