Iteradas de aplicações do plano no plano

Abstract

Neste trabalho estudamos as iteradas de aplicações do plano no plano. Usando as técnicas da dinâmica simbólica em aplicações do plano no plano, tendo sempre por base a teoria de amassamento de Milnor e Thurston e o formalismo da dinâmica simbólica desenvolvido por Sousa Ramos, abordamos diferentes aspectos qualitativos da dinâmica das aplicações de Lozi. Assim, através da dinâmica simbólica introduzida por Yutaka Ishii, começamos por refor-mular a fronteira do espaço dos parâmetros correspondente às aplicações de Lozi equivalentes à ferradura de Smale. No seguimento, apresentamos um método que permite a construção da bacia de atracção para o atractor de uma qualquer aplicação de Lozi. Ainda usando a dinâmica simbólica para as aplicações de Lozi, apresentamos um método que fazendo uso de expansões em fracções contínuas, nos permite calcular o maior dos expoentes de Lyapunov de uma aplicação de Lozi. Com a introdução do conceito de ponto crítico e subsequentemente de sequência de amassamento para as aplicações de Lozi, partimos para uma a construção de uma partição de Markov do seu espaço de fases. Desse modo, é possível a caracterização completa do espaço dos parâmetros através da introdução do conceito de curva de amassamento, que mostramos serem curvas isentrópicas. Consequentemente, obtemos a descrição em termos da entropia topológica da família das aplicações de Lozi. ### Abstract - In this work, we study the iterations of two dimensional maps. Using symbolic dynamics techniques for two dimensional maps, based on both the kneading theory of Milnor and Thurston and the formalism of symbolic dynamics developed by Sousa Ramos, we studied the qualitative aspects of the dynamics of Lozi maps. Thus, through the symbolic dynamics introduced by Yutaka Ishii, through the correction of symbolic sequence that characterized the first tangency between stable and unstable manifolds, we reformulate the border for the Smale horseshoes. Following this work, we present a method that allows the construction of the basin of attraction for the Lozi attractor. Even using the symbolic dynamics, we introduce a new method, using continuous fractions expansions that allow us to compute the largest Lyapunov exponent. Through the kneading sequence for Lozi map, we characterize the region in the parameter space were we have the kneading curves and we also give a method to the construction of a partition of Markov for the Lozi attractors. Consequently we characterize the topological entropy for the Lozi map, and costruct a new topological invariant, the second invariant.