Lattices related to conway's construction

Abstract

Em 2002 e 2012 foram provados alguns resultados sobre a estrutura de reticulado associada à construção de Conway. Foi também mostrado que o conjunto dos jogos nascidos até ao dia n é um reticulado distributivo completo e que essa estrutura é mantida considerando um conjunto inicial não vazio, desde que seja auto-gerado. Neste trabalho é aprofundada a condição suficiente de distributividade e é dado o primeiro exemplo conhecido de reticulado modular não distributivo proveniente de uma construção tipo Conway. O principal resultado é o Teorema de Representação com Jogos que estabelece que reticulados completos, finitos e infinitos, podem emergir no primeiro dia de uma construção de Conway para certo conjunto inicial. Finalmente, é analisada a construção transfinita: é provado um Teorema de Convergência para a construção de Conway, e é apresentada uma condição que estabelece se o conjunto dos jogos nascidos em dias anteriores a um certo ordinal é um reticulado; ABSTRACT: In 2002 and 2012 some results on the lattice structure associated with Conway’s construction were proved. It was also shown that the set of games born by day n is a complete distributive lattice and that this structure is maintained with a not-empty initial set, provided that it is self-generated. This work deepens the sufficient condition for distributivity. The first known example of non-distributive modular lattice from a Conway’s construction is given. The main result is the Representation Theorem with Games, which states that complete lattices, finite and infinite, can emerge on the first day of a Conway’s construction for some initial set. Finally, the transfinite construction is analyzed: a Convergence Theorem for Conway’s construction is proved, and a condition that establishes whether the class of games born in the days before a certain ordinal is a lattice is presented.