Sistemas Dinâmicos Discretos de Baixa Dimensão

Abstract

RESUMO - Neste trabalho estudamos, através da teoria da dinâmica não-linear, o comportamento de modelos em dois domínios do conhecimento: a economia e a ecologia. Utilizando a teoria da dinâmica simbólica, pretendemos contribuir para uma análise rigorosa de modelos. Em particular, caracterizamos o comportamento caótico de certas aplicações através do cálculo de invariantes topológicos, estudamos a sua variação com alguns parâmetros importantes e apresentamos considerações relevantes a partir dos resultados obtidos. A propósito do comportamento caótico dos modelos, aplicamos técnicas para controlo do caos. Primeiramente analisamos um modelo caótico que governa os lucros de uma empresa. O estudo deste sistema revelou a existência de aplicações iteradas unidimensionais que permitem caracterizar a dinâmica e exibir uma aplicação do controlo do comportamento caótico. No contexto da economia, apresentamos também um estudo analítico relativo a um método para controlo do caos num modelo para a acumulação de capital. Seguidamente é dedicada atenção a um modelo discreto de cicios económicos do tipo Kaldor, de dimensão dois e estrutura triangular, com enfâse nas dinâmicas isentrópicas. A última parte deste trabalho é dedicada aos sistemas dinâmicos aplicados à ecologia. Atendendo à importância dos mecanismos geradores do caos, analisamos um modelo de cadeias alimentares tritróficas particularmente significativo neste domínio. Concluímos a incursão nas aplicaçõesà ecologia coma construção de um modelo de predação com cooperação. Devido à existência de caos transiente, que tem como con-sequência a extinção de uma das espécies, caracterizamos a dinâmica em direcçãoà crise e aplicamos um método para controlo do comportamento caótico. Finalmente, tecemos considerações relativas à importância da teoria dos sistemas dinâmicos como um instrumento de análise que contribui para o conhecimento profundo do comportamento dinâmico de modelos, desvendando um carácter estruturado por detrás da complexidade. / ABSTRACT - In this work we, study, using nonlinear dynamics theory, the dynamic behavior of models in two fields of science: economics and ecology. With the symbolic dynamics theory, we address a contribution for the rigorous analysis of models. Particularly, we characterize the chaotic behavior of certain maps through the computation of topological invariants, the study of its variation with some important parameters and we present relevant considerations about the obtained results. Concerning the chaotic behavior of the models, we apply chaos control techniques. Firstly, we analyse a model that describes the chaotic motion of the profits, of a firm. The study of this system reveals the existence of unidimensional iterated maps that allowed us to characterize the dynamics and to exhibit an aplication of a method to control chaos. In the economics context, we also present a analytical study related to a chaos control method in a model for capital accumulation. In the sequence, we devote our attention to a discrete business cycle model of the Kaldor type, having dimension two and a triangular structure, with emphasis in isentropic: dynamics. The last part of this work is dedicated to dynamical systems applied to ecology. Due to the importance of chaos generating mechanisms, we analyse a tritrophic food chain model particularly significant in this domain. We conclude the applications to ecology with the construction of a model for coopera- tive hunting. Due to the existence of transient chaos, which leads to the extinction of one of the species, we characterize the dynamics towards to a crisis and we apply a method to control the chaotic behavior. Finally, we present considerations about the importance of the dynamical systems theory as a framework that contributes to enhance our understanding of the dynamics of the models, revealing a ordered structure behind the complexity.